¿Qué es un número racional? Tipos ✓ Ejemplos ✓ Propiedades de números Racionales

Número Racional: Los números racionales se pueden representar como el cociente de dos números enteros. Se expresan como una fracción a/b, donde a y b son números enteros y b es distinto de cero.

La mayoría de las personas tienen problemas para distinguir entre fracciones simples y números racionales. Los números enteros forman fracciones, mientras que los números reales forman el numerador y el denominador de los números racionales.

¿Cuál es la diferencia entre números racionales e irracionales?

¿Qué son los números irracionales?

Los números irracionales son números reales que no son números racionales. Aquí hay algunos ejemplos de números irracionales de uso frecuente:

• El número (pi) es irracional (Π = 3⋅14159265…), porque el valor decimal nunca termina.
• √2 es un número irracional. Considere un triángulo equilátero isósceles con dos lados de igual longitud, AB y BC. La hipotenusa AC será √2=1,414213… según el teorema de Pitágoras.

La diferencia entre números racionales e irracionales.

Los números irracionales son infinitos y no repetitivos, mientras que los números racionales son finitos y decimales repetitivos.

Estos son algunos ejemplos de números racionales:

• El número 9 se puede expresar como 9/1, siendo 9 y 1 números enteros.
• En todas las formas decimales finales, 0,5 se puede escribir como 1/2, 5/10 o 10/20.
• √81 es un número racional ya que se puede reducir a 9.
• 0,7777777 es un número racional con decimales periódicos.

Ejemplos de números irracionales:

• El denominador de 5/0 es cero, lo que lo convierte en un número irracional.
• Π es un número irracional, porque es un número infinito y no repetitivo.
• Como no se puede simplificar, la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.
• Porque no se repite ni termina, 0.212112111… es un número irracional.

Cómo identificar números racionales

Un número racional se puede expresar como una fracción de números enteros. Por lo tanto, cada uno de estos dígitos es un dígito racional. Para determinar si un número es racional, verifica si cumple alguno de los siguientes criterios:

• El número dado se puede representar como una fracción de números enteros.
• Se puede determinar si la expansión decimal del número es terminada o no.
• Todos los números racionales son enteros.

Los diferentes tipos de números racionales.

Hay diferentes tipos de números racionales. Sin embargo, no se debe suponer que solo los números racionales son fracciones de números enteros. Estos son los diferentes tipos de números racionales:

Números racionales positivos

Si el numerador y el denominador de un número racional son enteros positivos o negativos, se dice que el número es positivo. En otras palabras, si el numerador y el denominador de un número racional tienen el mismo signo, es positivo. Los números racionales positivos incluyen números como 0,2, 6 o 2/5. En este caso, 0,2 se puede expresar como 1/5 y 6 como 6/1.

Números racionales negativos

Si el numerador y el denominador tienen diferente signo (es decir, uno es un entero positivo y el otro un entero negativo), se dice que el número racional es negativo. Por ejemplo, los siguientes números racionales son negativos: -1/7, -4/5, -25/11, -10/19, -13/23, mientras que los siguientes números racionales son positivos: -11/-14, 2 /3, -3/-4 y 1/2.

Numeros reales

Los números reales incluyen todos los números racionales. Un número real es un número que se puede encontrar y usar en la vida cotidiana. Los números reales se usan para contar cosas, los números racionales se usan para representar fracciones, los números irracionales se usan para calcular la raíz cuadrada de un número y los números enteros se usan para medir la temperatura, etc. El conjunto de los números reales está formado por estas muchas clases de números.

Números enteros

Como todo número entero se puede escribir como una fracción, todo número entero es un número racional. Un conjunto de números que incluye todos los enteros positivos y 0 se llama entero. Los números enteros son fracciones, decimales y valores negativos que no son números reales. 

Propiedades de los números racionales

Estas son algunas de las propiedades más importantes de los números racionales. Echemos un vistazo más de cerca a estas características mientras exploramos una lista de números racionales.

Propiedad de cierre algebraico

La propiedad de cierre algebraico de los números racionales establece que dos números racionales sumados, restados, multiplicados o divididos producen un número racional. Veamos cómo afecta esta propiedad a todas las operaciones aritméticas básicas. 

Cuando dos números racionales se combinan en cualquier forma, el resultado es otro número racional. 

Por ejemplo:

¾ + ½ = 10/8 o 5/4

½ – ¾ = -2/8 o -1/4

¾ x ½ = 3/8

½ ÷ ¾ = 2/3

Todas las respuestas anteriores cumplen con los criterios de un número racional.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa de los números racionales establece que sumar o multiplicar dos números racionales en cualquier orden produce el mismo resultado. Sin embargo, si se cambia el orden de los números en la resta y la división, el resultado variará.

• Con suma: 1/3 + 1/4 es lo mismo que 1/4 + 1/3, porque ambos son iguales a 7/12. Entonces a + b es lo mismo que b + a.
• Con resta: 1/3 – 1/4 no es lo mismo que 1/4 – 1/3. El primero es igual a 1/12 mientras que el segundo es igual a -1/12. Por lo tanto, a – b no es igual a b – a.
• Con la multiplicación: 1/3 x 1/4 y 1/4 x 1/3 son ambos iguales a 1/12. Por lo tanto, axb es igual a bx a.
• Con división: 1/3 ÷ 1/4 no es lo mismo que 1/4 ÷ 1/3. El primero es igual a 4/3 y el segundo a 3/4. Por lo tanto, a ÷ b no es lo mismo que b ÷ a.

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa de los números racionales establece que no importa cómo se agrupen los números, el resultado sigue siendo el mismo cuando se suman o multiplican tres números racionales cualesquiera. Sin embargo, si se cambia el orden de los números en la resta y la división, el resultado será diferente.

• Con la suma: (1/3 + 1/4) + 1/2 es lo mismo que 1/4 + (1/3 + 1/2). Ambos son iguales a 13/12. Entonces (a + b) + c = a + (b + c).
• Con resta: (1/3 – 1/4) – 1/2 no es lo mismo que 1/4 – (1/3 – 1/2). El primero es igual a 1/24, el segundo es igual a 1/12. Entonces (a – b) – c no es igual a a – (b – c).
• Con multiplicación: (1/3 x 1/4) x 1/2 es igual a 1/4 x (1/3 x 1/2). Ambos presentan la respuesta de 1/24. Entonces (axb)xc = ax(bxc).
• Con división: (1/3 ÷ 1/4) ÷ 1/2 no es igual a 1/4 ÷ (1/3 ÷ 1/2). El primero es igual a 8/3, el segundo es igual a 2/3. Entonces (a ÷ b) ÷ c no es igual a a ÷ (b ÷ c).

Propiedad distributiva

Cualquier ecuación que contenga tres números racionales A, B y C, dados en la forma A (B + C), se resuelve en la forma A (B + C) = AB + AC o A (B – C) = AB – AC, según la propiedad distributiva de los números racionales. Esto significa que el operando A es compartido por los otros dos operandos, B y C.