¿Qué son los números irracionales? ✓ Propiedades ✓ Ejemplos ✓ Símbolo

Los números reales que no se pueden representar como una razón se llaman números irracionales. Aunque los números racionales también son números reales, son diferentes de los números irracionales. En el siglo V a. C., Hippasus, un filósofo pitagórico, descubrió los números irracionales. Sigue leyendo para obtener más información sobre los números irracionales y las diferencias entre los números irracionales y los racionales.

¿Qué es un número irracional?

La expansión decimal de un número irracional no es ni terminal ni repetitiva . Por ejemplo, 2.59265… no termina, entonces es un número irracional. Los números irracionales son números reales que no se pueden expresar como una fracción simple. No pueden expresarse como una razón como p/q, donde tanto p como q son números enteros y q ≠ 0.

¿Qué es un decimal final y periódico?

Incluso si un decimal periódico tiene un número infinito de dígitos, todos se conocen. Los dígitos después del decimal no pueden ser todos 0 para que el decimal se considere repetido. Para decimales no periódicos no terminales , no se conocen todos los dígitos. No importa cuántos dígitos se conozcan, siempre habrá un dígito después del cual se debe determinar.

Cabe mencionar que 1/3 es un decimal periódico y un decimal no terminador. Comprender las diferencias entre decimales racionales e irracionales es clave para distinguirlos. Todos los decimales que terminan en un dígito son números racionales. Los decimales finales y periódicos se pueden expresar como una fracción .

Hay números irracionales no terminales y no repetitivos, el más notable de los cuales es pi. Dos ejemplos son pi (3,14159…) y la raíz cuadrada de 2 (1,4142135…). No importa cuántos dígitos uno calcule, ninguno de ellos termina o se repite.

¿Qué es un número racional?

En aritmética, los números racionales son un tipo de número que normalmente se aprende después de los números enteros . Los números racionales se pueden representar como el cociente de dos números enteros. Se expresan como una fracción a/b, donde a y b son números enteros y b es distinto de cero.

Mientras que los números enteros forman fracciones, por ejemplo, 2 es igual a 2/1, un número entero es la notación dentro de la fracción, es decir, el 2 en 2/1. Esto puede resultar confuso, pero tenga en cuenta que los números enteros son un término general que abarca todos los números.

Propiedades de los números irracionales

Las propiedades de los números irracionales nos ayudan a identificar los números irracionales entre un grupo de números reales:

• Los decimales no terminales y no recurrentes forman números irracionales.
• Solo se utilizan números reales.
• El resultado de un número irracional x y un número racional y es un número irracional.
• El producto de cualquier número irracional multiplicado por cualquier número racional distinto de cero es un número irracional. El producto de un número irracional por un número racional es irracional.
• El Mínimo Común Múltiplo (LCM) de dos números irracionales puede o no existir.
• Dos números irracionales sumados, restados, multiplicados y divididos pueden ser números racionales o no.

¿Cómo saber si un número es irracional?

Los números racionales se pueden expresar como una razón o una fracción. Las fracciones no se pueden usar para representar números irracionales. Si un número se puede escribir o traducir como p/q, donde p y q son números enteros y q es un número distinto de cero, se dice que es racional. De lo contrario, es irracional.

Explicación

Cualquier número que se pueda representar o escribir como p/q, donde p y q son números enteros y q es un número distinto de cero, es un número racional.

Ejemplo: 5/12, -13/9, 1/8

Por el contrario, un número irracional no se puede expresar en la forma p/q, y su expansión decimal no se repite ni es terminal.

Ejemplo: √2, √7, √11

Podemos reconocer y clasificar números como racionales o irracionales usando estas definiciones. La forma p/q es fundamental para definir y clasificar los números racionales e irracionales. Si el número tiene la forma p/q, es racional. De lo contrario, es irracional. 

Símbolo de números irracionales

Miremos los símbolos de los diferentes tipos de números antes de mirar los números irracionales.

• N representa números naturales
• I significa números imaginarios
• R significa números reales
• Q significa números racionales

Tanto los números racionales como los irracionales constituyen los números reales. Los números irracionales se pueden obtener restando los números racionales (Q) de los números reales, como se define por (RQ)(R). También es posible escribirlo en la forma (R\Q).

Números racionales vs. irracional

Un número racional es cualquier número que se puede expresar como una razón o una fracción (p/q). Se pueden incluir el numerador (p) y el denominador (q), cuando q no es cero. Un número entero o un número entero puede ser un número racional.

Tome el ejemplo de 2/3 = 0.6666 = 0.67. Como se repite el valor decimal, calculamos 0,67. √4 es igual a 2 y -2, donde 2 es un número entero positivo y -2 es un número entero negativo.

Número racional

Puede escribirse como una fracción o una razón, como p/q, donde q es menor que cero. La expansión decimal es recurrente y termina o no termina (se repite).

Ejemplo: 0,33333, 0,656565…, 1,75

Numero irracional

No se puede expresar como una fracción o una razón. En cualquier momento, la expansión decimal no termina ni se repite.

Ejemplo: π, √13, e

Ejemplos de números irracionales

¿Cuál de los siguientes números es un número irracional?

2, √16 , 1/2, √5

Los números irracionales son números reales que no se pueden expresar como una fracción simple y cuya expansión decimal no puede terminar ni repetirse. Veamos los números que se indican a continuación:

• 2 es un número entero, por lo que no es un número irracional.
• √16 parece que podría ser un número irracional, pero la raíz cuadrada de 16 es 4 sin resto. Por lo tanto, no es irracional.
• 1/2 expresado en decimal es 0,5 que termina y no se repite. Por lo tanto, no es un número irracional.
• √5 es un número irracional, porque la raíz cuadrada es 2.23606797749978964091736 que no termina.

¿Cuál de los siguientes números es el número irracional más grande?

π, √5, 4,64378123…, √21

Convertir todos estos números a decimales nos permitirá compararlos. Como estos son números irracionales que dan como resultado un número infinito de decimales, los limitaremos a 3 decimales.

• π como decimal es igual a 3.143.
• √5 es 2.236.
• 4.644 puede quedarse como está.
• √21 es 4.582

Al observar todos los decimales anteriores, podemos compararlos para determinar cuál es mayor.

De mayor a menor, los números irracionales están ordenados:

4.64378123…, √21, √5, π

¿Es 7/12 irracional?

Para averiguarlo, necesitamos convertir esta fracción a decimal:

0.5833…
12 ) 7.0000
60
100
96
40
36
40
36
4

Entonces, 7/12 = 0.58333…

Es un decimal no terminal, lo que significa que 7/12 es un número irracional